Divisibilidad

Divisibilidad. Cálculo rápido.

Si te fijaste en la "Criba de Eratóstenes" había algunas cosas curiosas que probablemente ya sabías:

• Los múltiplos de 2 estaban todos en columnas... y terminaban en un número par (0,2,4,6 o 8)
• Los múltiplos de 5 estaban todos en columnas... y terminaban en 5 o 0
• Los primeros múltiplos de 11 tenían las dos cifras iguales.

Y ahora alguna cosa que puede que no supieras:

• Las cifras de los números múltiplos de 3... ¡suman siempre un múltiplo de 3! Por ejemplo, el 117. 1 + 1 + 7 = 9.... o el 84 --> 8+4=12 --> 1+2 = 3
• Los múltiplos de 11, mayores a 99, empiezan y acaban con el mismo número... pero el número central es la suma de ese número. Por ejemplo, el 363, que es 11x33. Y además, también puede ser que los números inicial y final sean distintos, pero también el central es su suma, como el 561, que es 51x11

Para practicar, vamos a buscar los divisores del.... 34056, por ejemplo.

• Termina en 6, así que será divisible en 2. Y eso nos deja el 17028
• 17028 termina en 8, así que será divisible en 2. Y eso nos deja el 8514
• 8514 termina en 2, así que será divisible en 2. Y eso nos deja el 4257
• 4257... este parece difícil. Vamos a probar con el 3. 4+2+5+7 = = 18. ¡Anda! Eso nos deja con 1419
• 1419... Vamos a ver otra vez el 3. 1+4+1+9 = 5 + 10 = 15. Así que es divisible por 3 otra vez, lo que nos deja con 473
• 473. Este ya es muy complicado... con el 3 no sirve (suma 14)... Vamos a ver con el 11. ¿El número inicial 4 más el final 3 son igual a 7? ¿4+3=7? ¡Sí! Eso nos deja con 473/11, que es 43.
• Y 43 ya sabemos por la criba que primo

Por tanto podemos decir que 34056 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 11 x 43.

Eso significa que es divisible por esos números... Pero también por el resultado de cualquier multiplicación entre ellos. 

Por ejemplo, 2 x 2 x 3 x 43 = 516, porque 34056 / 516 es 66

Y si te fijas todavía más 66 es 11 x 2 x 3... ¡que son los números que nos has elegido! 

Para que pienses. ¿y cuales serían los divisores del número 340560?

Todo esto está muy bien, pero ¿para que sirve?:

Pues para expresar los números de otras maneras, lo que permite que se hagan simplificaciones mucho más rápidas.

Piensa que quieres hacer 340560 / 34056

Puedes hacer la división a mano... o puedes expresarla como

2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 11 x 43 x 10 / 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 11 x 43
, simplificar términos y quedarte con el 10 directamente.

Vale ¿y en el mundo real?

De acuerdo. ¿Has oído hablar de la criptografía? Es lo que permite que tus datos puedan viajar por Internet sin que nadie pueda leerlos hasta que llegan a su destino. Y ciertos métodos se basan en codificar la información usando un número muy muy muy largo, producto de dos números primos. El desafío matemático, para poder acceder a tu información, es que consigan saber cuales son esos primos.

Y ahora, un poco de repaso

Divisibilidad